Основы мат. анализа Примеры

$6 x^{2} - 15 x - 4 < 8 x$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей неравенства.

$6 x^{2} - 15 x - 4 - 8 x < 0$

Этап 1.2

Вычтем $8 x$ из $- 15 x$ .

$6 x^{2} - 23 x - 4 < 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$6 x^{2} - 23 x - 4 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ , а сумма — $b = - 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 23$ из $- 23 x$ .

$6 x^{2} - 23 x - 4 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 23$ как $1$ плюс $- 24$

$6 x^{2} + (1 - 24) x - 4 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 1 x - 24 x - 4 = 0$

Этап 3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$6 x^{2} + x - 24 x - 4 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 x^{2} + x) - 24 x - 4 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (6 x + 1) - 4 (6 x + 1) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $6 x + 1$ .

$(6 x + 1) (x - 4) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$6 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 5

Приравняем $6 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $6 x + 1$ к $0$ .

$6 x + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $6 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$6 x = - 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $6 x = - 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $6 x = - 1$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{6}$

Этап 5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{6}$

Этап 6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(6 x + 1) (x - 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{6}, 4$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{6}$

$- \frac{1}{6} < x < 4$

$x > 4$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$6 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 4 < 8 (- 3)$

Этап 9.1.3

Левая часть $95$ не меньше правой части $- 24$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{6} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{6} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$6 {(0)}^{2} - 15 \cdot 0 - 4 < 8 (0)$

Этап 9.2.3

Левая часть $- 4$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$6 {(6)}^{2} - 15 \cdot 6 - 4 < 8 (6)$

Этап 9.3.3

Левая часть $122$ не меньше правой части $48$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{6}$ Ложь

$- \frac{1}{6} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - \frac{1}{6}$ Ложь

$- \frac{1}{6} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{1}{6} < x < 4$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{1}{6}, 4)$

Этап 12