Основы мат. анализа Примеры

$5 x^{2} + 17 x < 12$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$5 x^{2} + 17 x = 12$

Этап 2

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$5 x^{2} + 17 x - 12 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 12 = - 60$ , а сумма — $b = 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $17$ из $17 x$ .

$5 x^{2} + 17 (x) - 12 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $17$ как $- 3$ плюс $20$

$5 x^{2} + (- 3 + 20) x - 12 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 3 x + 20 x - 12 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(5 x^{2} - 3 x) + 20 x - 12 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (5 x - 3) + 4 (5 x - 3) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 3$ .

$(5 x - 3) (x + 4) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 5

Приравняем $5 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $5 x - 3$ к $0$ .

$5 x - 3 = 0$

Этап 5.2

Решим $5 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 3$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $5 x = 3$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 3$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{5}$

Этап 6

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 x - 3) (x + 4) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{5}, - 4$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

$x > \frac{3}{5}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$5 {(- 6)}^{2} + 17 (- 6) < 12$

Этап 9.1.3

Левая часть $78$ не меньше правой части $12$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < \frac{3}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < \frac{3}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$5 {(0)}^{2} + 17 (0) < 12$

Этап 9.2.3

Левая часть $0$ меньше правой части $12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$5 {(3)}^{2} + 17 (3) < 12$

Этап 9.3.3

Левая часть $96$ не меньше правой части $12$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ Истина

$x > \frac{3}{5}$ Ложь

$x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ Истина

$x > \frac{3}{5}$ Ложь

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 4, \frac{3}{5})$

Этап 12