Основы мат. анализа Примеры

(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})

$(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$

Этап 1

Чтобы найти

cos (θ)

$\cos (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки

(0, 0)

$(0, 0)$ и

(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})

$(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках

(0, 0)

$(0, 0)$ ,

(5 \frac{1}{2}, 0)

$(5 \frac{1}{2}, 0)$ и

(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})

$(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ .

Противоположное:

- 2 \sqrt{15}

$- 2 \sqrt{15}$

Смежный:

5 \frac{1}{2}

$5 \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем

5 \frac{1}{2}

$5 \frac{1}{2}$ в неправильную дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Смешанное число представляет собой сумму своих целой и дробной частей.

\sqrt{{(5 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{{(5 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Добавим

5

$5$ и

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы записать

5

$5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Объединим

5

$5$ и

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Умножим

5

$5$ на

2

$2$ .

\sqrt{{(\frac{10 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{{(\frac{10 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2.4.2

Добавим

10

$10$ и

1

$1$ .

\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к

\frac{11}{2}

$\frac{11}{2}$ .

\sqrt{\frac{11^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{\frac{11^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Возведем

11

$11$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{\frac{121}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{\frac{121}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.2.4

Применим правило умножения к

- 2 \sqrt{15}

$- 2 \sqrt{15}$ .

\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 2.2.5

Возведем

- 2

$- 2$ в степень

2

$2$ .

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 2.3

Перепишем

{\sqrt{15}}^{2}

${\sqrt{15}}^{2}$ в виде

15

$15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt{15}

$\sqrt{15}$ в виде

15^{\frac{1}{2}}

$15^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.3

Объединим

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ и

2

$2$ .

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Сократим общий множитель.

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4.2

Перепишем это выражение.

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

Этап 2.3.5

Найдем экспоненту.

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}$

\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}$

Этап 2.4

Умножим

4

$4$ на

15

$15$ .

\sqrt{\frac{121}{4} + 60}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60}$

Этап 2.5

Чтобы записать

60

$60$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\sqrt{\frac{121}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 2.6

Объединим

60

$60$ и

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\sqrt{\frac{121}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}

$\sqrt{\frac{121}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

\sqrt{\frac{121 + 60 \cdot 4}{4}}

$\sqrt{\frac{121 + 60 \cdot 4}{4}}$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим

60

$60$ на

4

$4$ .

\sqrt{\frac{121 + 240}{4}}

$\sqrt{\frac{121 + 240}{4}}$

Этап 2.8.2

Добавим

121

$121$ и

240

$240$ .

\sqrt{\frac{361}{4}}

$\sqrt{\frac{361}{4}}$

\sqrt{\frac{361}{4}}

$\sqrt{\frac{361}{4}}$

Этап 2.9

Перепишем

\sqrt{\frac{361}{4}}

$\sqrt{\frac{361}{4}}$ в виде

\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$ .

\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Перепишем

361

$361$ в виде

19^{2}

$19^{2}$ .

\frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

\frac{19}{\sqrt{4}}

$\frac{19}{\sqrt{4}}$

\frac{19}{\sqrt{4}}

$\frac{19}{\sqrt{4}}$

Этап 2.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{19}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{19}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

\frac{19}{2}

$\frac{19}{2}$

\frac{19}{2}

$\frac{19}{2}$

\frac{19}{2}

$\frac{19}{2}$

Этап 3

$\cos (θ) = \frac{Смежные}{Гипотенуза}$ , следовательно

$\cos (θ) = \frac{5 \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$ .

$\frac{5 \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4

Упростим

$\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем

$5 \frac{1}{2}$ в неправильную дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Смешанное число представляет собой сумму своих целой и дробной частей.

$\cos (θ) = \frac{5 + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2

Добавим

$5$ и

$\frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы записать

$5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{2}{2}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2.2

Объединим

$5$ и

$\frac{2}{2}$ .

$\cos (θ) = \frac{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (θ) = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим

$5$ на

$2$ .

$\cos (θ) = \frac{\frac{10 + 1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2.4.2

Добавим

$10$ и

$1$ .

$\cos (θ) = \frac{\frac{11}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (θ) = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{19}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{19}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = 11 (\frac{1}{19})$

Этап 4.4

Объединим

$11$ и

$\frac{1}{19}$ .

$\cos (θ) = \frac{11}{19}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\cos (θ) = \frac{11}{19} \approx 0.57894736$