Основы мат. анализа Примеры

$(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$

Этап 1

Чтобы найти $\cos (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(5 \frac{1}{2}, 0)$ и $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ .

Противоположное: $- 2 \sqrt{15}$

Смежный: $5 \frac{1}{2}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем $5 \frac{1}{2}$ в неправильную дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Смешанное число представляет собой сумму своих целой и дробной частей.

$\sqrt{{(5 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Добавим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Умножим $5$ на $2$ .

$\sqrt{{(\frac{10 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.1.2.4.2

Добавим $10$ и $1$ .

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{11}{2}$ .

$\sqrt{\frac{11^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Возведем $11$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

Этап 2.2.4

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{15}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 2.2.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 2.3

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

Этап 2.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $15$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60}$

Этап 2.5

Чтобы записать $60$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 2.6

Объединим $60$ и $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{121}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{121 + 60 \cdot 4}{4}}$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $60$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{121 + 240}{4}}$

Этап 2.8.2

Добавим $121$ и $240$ .

$\sqrt{\frac{361}{4}}$

Этап 2.9

Перепишем $\sqrt{\frac{361}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Перепишем $361$ в виде $19^{2}$ .

$\frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{19}{\sqrt{4}}$

Этап 2.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{19}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{19}{2}$

Этап 3

$\cos (θ) = \frac{Смежные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\cos (θ) = \frac{5 \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$ .

$\frac{5 \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4

Упростим $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем $5 \frac{1}{2}$ в неправильную дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Смешанное число представляет собой сумму своих целой и дробной частей.

$\cos (θ) = \frac{5 + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2

Добавим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (θ) = \frac{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2.2

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$\cos (θ) = \frac{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (θ) = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $5$ на $2$ .

$\cos (θ) = \frac{\frac{10 + 1}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.1.2.4.2

Добавим $10$ и $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\frac{11}{2}}{\frac{19}{2}}$

Этап 4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (θ) = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{19}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{19}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = 11 (\frac{1}{19})$

Этап 4.4

Объединим $11$ и $\frac{1}{19}$ .

$\cos (θ) = \frac{11}{19}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\cos (θ) = \frac{11}{19} \approx 0.57894736$