Основы мат. анализа Примеры

$\tan (\sin^{-1} (w))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - w^{2}}, w)$ , $(\sqrt{1^{2} - w^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\sin^{-1} (w)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - w^{2}}, w)$ . Следовательно, $\tan (\sin^{-1} (w))$ равно $\frac{w}{\sqrt{1 - w^{2}}}$ .

$\frac{w}{\sqrt{1 - w^{2}}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{w}{\sqrt{1^{2} - w^{2}}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , где $a = 1$ и $i = w$ .

$\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

Этап 3

Умножим $\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ .

$\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

Этап 4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)} \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

Этап 4.2

Возведем $\sqrt{(1 + w) (1 - w)}$ в степень $1$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1} \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

Этап 4.3

Возведем $\sqrt{(1 + w) (1 - w)}$ в степень $1$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1} {\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1}}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{2}}$

Этап 4.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{2}$ в виде $(1 + w) (1 - w)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + w) (1 - w)}$ в виде ${((1 + w) (1 - w))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{({((1 + w) (1 - w))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{1}}$

Этап 4.6.5

Упростим.

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{(1 + w) (1 - w)}$