Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$

Этап 1

Чтобы найти $\cos (θ)$ угла между осью x и прямой, соединяющей точки $(0, 0)$ и $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ , нарисуем треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$ , $(\frac{3 π}{2}, 0)$ и $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ .

Противоположное: $\frac{7 π}{4}$

Смежный: $\frac{3 π}{2}$

Этап 2

Найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3 π}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $3 π$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

Этап 2.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $\frac{7 π}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.4.2

Применим правило умножения к $7 π$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.5

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

Этап 2.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Этап 2.7

Чтобы записать $\frac{9 π^{2}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Этап 2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $\frac{9 π^{2}}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Этап 2.8.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}}$

Этап 2.10

Перепишем $\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $4$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{36 π^{2} + 49 π^{2}}{16}}$

Этап 2.10.2

Добавим $36 π^{2}$ и $49 π^{2}$ .

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$

Этап 2.11

Перепишем $\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

Этап 2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Изменим порядок $85$ и $π^{2}$ .

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 85}}{\sqrt{16}}$

Этап 2.12.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{16}}$

Этап 2.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 2.13.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{π \sqrt{85}}{4}$

Этап 3

$\cos (θ) = \frac{Смежные}{Гипотенуза}$ , следовательно $\cos (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$ .

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$

Этап 4

Упростим $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\cos (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $π$ из $π \sqrt{85}$ .

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π (\sqrt{85})}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

Этап 4.2.4

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{85}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{\sqrt{85}}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = 3 (\frac{2}{\sqrt{85}})$

Этап 4.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{6}{\sqrt{85}}$ на $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

Этап 4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $\frac{6}{\sqrt{85}}$ на $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Этап 4.7.2

Возведем $\sqrt{85}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Этап 4.7.3

Возведем $\sqrt{85}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

Этап 4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

Этап 4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

Этап 4.7.6

Перепишем ${\sqrt{85}}^{2}$ в виде $85$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{85}$ в виде $85^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Этап 4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

Этап 5

Аппроксимируем результат.

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85} \approx 0.65079137$