Основы мат. анализа Примеры

$\frac{π}{2}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = \frac{π}{2}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{π}{2})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{π}{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $\frac{π}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{π^{2}}{4}}$

Этап 4.4

Добавим $0$ и $\frac{π^{2}}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{π^{2}}{4}}$

Этап 4.5

Перепишем $\sqrt{\frac{π^{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{π^{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{π^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 4.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{π}{\sqrt{4}}$

Этап 4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \frac{π}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{π}{2}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{π}{2}})$

Этап 6

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{π}{2}})$ и $| z | = \frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{π}{2}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{π}{2}})))}$