Основы мат. анализа Примеры

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{5}$ в виде $\sqrt{3^{5}}$ .

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.2

Возведем $3$ в степень $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.3

Перепишем $243$ в виде $9^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $81$ из $243$ .

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.3.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.5.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.5.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.6

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.7

Умножим $5$ на $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.8

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.10

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.10.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.12

Умножим $3$ на $10$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.13

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.14

Умножим $- 1$ на $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.15

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.15.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.15.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.15.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.4.1

Сократим общий множитель.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.15.4.2

Перепишем это выражение.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.15.5

Найдем экспоненту.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.16

Умножим $10$ на $3$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.17

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.18

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.19

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.20

Умножим $- 1$ на $30$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

Этап 2.1.21

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.21.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

Этап 2.1.21.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

Этап 2.1.21.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

Этап 2.1.22

Умножим $5$ на $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

Этап 2.1.23

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

Этап 2.1.24

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

Этап 2.1.24.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

Этап 2.1.24.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

Этап 2.1.25

Умножим $i$ на $1$ .

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $30 \sqrt{3}$ из $9 \sqrt{3}$ .

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

Этап 2.2.2

Вычтем $30 i$ из $45 i$ .

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

Этап 2.2.3

Добавим $15 i$ и $i$ .

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Этап 2.2.4

Добавим $- 21 \sqrt{3}$ и $5 \sqrt{3}$ .

$16 i - 16 \sqrt{3}$

Этап 2.2.5

Изменим порядок $16 i$ и $- 16 \sqrt{3}$ .

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 16 \sqrt{3}$ и $b = 16$ .

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 6.1.2

Применим правило умножения к $- 16 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.1.3

Возведем $- 16$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Этап 6.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $256$ на $3$ .

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

Этап 6.3.2

Добавим $256$ и $768$ .

$| z | = \sqrt{1024}$

Этап 6.3.3

Перепишем $1024$ в виде $32^{2}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

Этап 6.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 32$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Этап 9

Подставим значения $θ = \frac{5 π}{6}$ и $| z | = 32$ .

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$