Основы мат. анализа Примеры

$2 \cos^{2} (22.5 °) - 1$

Этап 1

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 \cdot 22.5 °)$

Этап 2

Умножим $2$ на $22.5 °$ .

$\cos (45)$

Этап 3

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Представим $45$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{90}{2})$

Этап 3.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

Этап 3.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

Этап 3.4

Точное значение $\cos (90)$ : $0$ .

$\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

Этап 3.5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.4

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 3.5.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 3.5.5.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 3.5.5.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 3.5.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 3.5.5.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.5.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.5.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.5.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 3.5.5.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 5

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 6

Подставим фактические значения $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 7

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 7.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 7.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 7.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

Этап 7.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

Этап 7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

Этап 7.5

Добавим $0$ и $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 7.6

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 7.8

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.9.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.9.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.9.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7.9.6.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 9

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ дает угол в первом квадранте, значение угла равно $0$ .

$θ = 0$

Этап 10

Подставим значения $θ = 0$ и $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$