Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 3

Умножим $\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{3}{5}$ на $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 3.2

Умножим $5$ на $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 4

Умножим $\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3}{5}$ на $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Найдем значение $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

Этап 5.1.3

Перенесем $0.95105651$ влево от $i$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

Этап 5.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

Этап 5.2.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $5$ на $- 0.30901699$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

Этап 5.2.2.2

Умножим $0.95105651$ на $5$ .

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Этап 6

Развернем $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Объединим $\frac{3}{10}$ и $- 1.54508497$ .

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.1.2

Умножим $3$ на $- 1.54508497$ .

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.2

Разделим $- 4.63525491$ на $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.3

Умножим $\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Объединим $4.75528258$ и $\frac{3}{10}$ .

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.3.2

Умножим $4.75528258$ на $3$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.3.3

Объединим $\frac{14.26584774}{10}$ и $i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.4

Вынесем множитель $14.26584774$ из $14.26584774 i$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.5

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.6

Разделим дроби.

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.7

Разделим $14.26584774$ на $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.8

Разделим $i$ на $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.9

Умножим $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.9.1

Объединим $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ и $- 1.54508497$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.9.2

Умножим $- 1.54508497$ на $3$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.9.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $- 4.63525491$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.11

Вынесем множитель $8.02849701$ из $8.02849701 i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.12

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.13

Разделим дроби.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.14

Разделим $8.02849701$ на $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.15

Разделим $i$ на $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.16

Умножим $0.8028497$ на $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

Этап 7.1.17

Умножим $\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.17.1

Объединим $4.75528258$ и $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

Этап 7.1.17.2

Умножим $3$ на $4.75528258$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

Этап 7.1.17.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $14.26584774$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

Этап 7.1.17.4

Объединим $\frac{24.7091731 i}{10}$ и $i$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

Этап 7.1.17.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

Этап 7.1.17.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

Этап 7.1.17.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

Этап 7.1.17.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

Этап 7.1.18

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

Этап 7.1.19

Умножим $24.7091731$ на $- 1$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

Этап 7.1.20

Разделим $- 24.7091731$ на $10$ .

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

Этап 7.2

Вычтем $2.47091731$ из $- 0.46352549$ .

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

Этап 7.3

Вычтем $0.8028497 i$ из $1.42658477 i$ .

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

Этап 8

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 9

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 10

Подставим фактические значения $a = - 2.9344428$ и $b = 0.62373507$ .

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Этап 11

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возведем $0.62373507$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

Этап 11.2

Возведем $- 2.9344428$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

Этап 11.3

Добавим $0.38904544$ и $8.61095455$ .

$| z | = \sqrt{9}$

Этап 11.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

Этап 11.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 3$

Этап 12

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

Этап 13

Поскольку обратный тангенс $\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $2.93215314$ .

$θ = 2.93215314$

Этап 14

Подставим значения $θ = 2.93215314$ и $| z | = 3$ .

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$