Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt[3]{- 2 i}$

Этап 1

Перепишем $- 2 i$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \cdot (2 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\sqrt[3]{- 1 (2) i}$

Этап 1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2 i}$

Этап 1.3

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \cdot 2 i}$

Этап 1.4

Добавим круглые скобки.

$\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \cdot (2 i)}$

Этап 2

Вынесем члены из-под знака корня.

${(- 1)}^{3} \sqrt[3]{2 i}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 \sqrt[3]{2 i}$

Этап 3.2

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{2 i}$ в виде $- \sqrt[3]{2 i}$ .

$- \sqrt[3]{2 i}$

Этап 4

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 5

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 6

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Этап 7

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Этап 7.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| z | = 1$

Этап 8

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Этап 9

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет отрицательное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 10

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{2}$ и $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$