Основы мат. анализа Примеры

${(3 c i s \frac{π}{6})}^{3}$

Этап 1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 c i s$ .

${(3 (c i s) \frac{π}{6})}^{3}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

${(3 (c i s) \frac{π}{3 (2)})}^{3}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель.

${(3 (c i s) \frac{π}{3 \cdot 2})}^{3}$

Этап 1.4

Перепишем это выражение.

${(c i s \frac{π}{2})}^{3}$

Этап 2

Объединим $c$ и $\frac{π}{2}$ .

${(i s \frac{c π}{2})}^{3}$

Этап 3

Объединим $i$ и $\frac{c π}{2}$ .

${(s \frac{i (c π)}{2})}^{3}$

Этап 4

Объединим $s$ и $\frac{i (c π)}{2}$ .

${(\frac{s (i (c π))}{2})}^{3}$

Этап 5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{s i c π}{2}$ .

$\frac{{(s i c π)}^{3}}{2^{3}}$

Этап 5.2

Применим правило умножения к $s i c π$ .

$\frac{{(s i c)}^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Этап 5.3

Применим правило умножения к $s i c$ .

$\frac{{(s i)}^{3} c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $s i$ .

$\frac{s^{3} i^{3} c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$\frac{s^{3} (i^{2} \cdot i) c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Этап 6.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{s^{3} (- 1 \cdot i) c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Этап 6.3

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\frac{s^{3} \cdot - 1 i c^{3} π^{3}}{2^{3}}$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{s^{3} \cdot - 1 i c^{3} π^{3}}{8}$

Этап 7.2

Перенесем $- 1$ влево от $s^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot s^{3} i c^{3} π^{3}}{8}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{s^{3} i c^{3} π^{3}}{8}$

Этап 8

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 9

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 10

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = - \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8})}^{2}}$

Этап 11

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$

Этап 11.2

Умножим $s^{3}$ на $1$ .

$| z | = \frac{s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$

Этап 12

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 s^{3} c^{3} π^{3}}{8}}{0})$

Этап 13

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет отрицательное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 14

Подставим значения $θ = \frac{3 π}{2}$ и $| z | = \frac{s^{3} c^{3} π^{3}}{8}$ .

$\frac{s^{3} c^{3} π^{3}}{8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))}$