Основы мат. анализа Примеры

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.2

Умножим ${(- 2)}^{3}$ на $- 2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем $- 2$ .

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.4

Умножим $4$ на $16$ .

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.6

Умножим $6$ на $4$ .

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.9

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.10

Умножим $24 (4 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.10.2

Умножим $24$ на $- 4$ .

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.11

Умножим $4$ на $- 2$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.12

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.13

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.14

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.15

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.16

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.17

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.18

Умножим $8$ на $- 8$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

Этап 2.1.19

Применим правило умножения к $- 2 i$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

Этап 2.1.20

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

Этап 2.1.21

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.21.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

Этап 2.1.21.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

Этап 2.1.21.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

Этап 2.1.22

Умножим $16$ на $1$ .

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $96$ из $16$ .

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

Этап 2.2.2

Добавим $- 80$ и $16$ .

$- 64 + 64 i - 64 i$

Этап 2.2.3

Вычтем $64 i$ из $64 i$ .

$- 64 + 0$

Этап 2.2.4

Добавим $- 64$ и $0$ .

$- 64$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 64$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 64$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Этап 6.4

Перепишем $4096$ в виде $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 64$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{- 64}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $π$ .

$θ = π$

Этап 9

Подставим значения $θ = π$ и $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$