Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 π}{3}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = \frac{2 π}{3}$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Этап 4.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило умножения к $\frac{2 π}{3}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 4.2.2

Применим правило умножения к $2 π$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

Этап 4.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Этап 4.5

Добавим $0$ и $\frac{4 π^{2}}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$

Этап 4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем $4 π^{2}$ в виде ${(2 π)}^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{{(2 π)}^{2}}}{\sqrt{9}}$

Этап 4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{9}}$

Этап 4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = \frac{2 π}{3}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$

Этап 6

Подставим значения $θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$ и $| z | = \frac{2 π}{3}$ .

$\frac{2 π}{3 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})))}$