Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Этап 1

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

Этап 2

Умножим числитель и знаменатель $\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ на комплексно сопряженное $10 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

Этап 3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.8

Умножим $i$ на $0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.6

Умножим $0$ на $- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(10 i) (1 + 0 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $0$ на $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

Этап 3.3.2.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

Этап 3.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

Этап 3.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

Этап 3.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

Этап 3.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

Этап 3.3.2.9

Умножим $0$ на $i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

Этап 3.3.2.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

Этап 3.3.2.11

Вычтем $0 i$ из $0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

Этап 3.3.3

Умножим $0$ на $i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

Этап 3.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

Этап 4

Разделим $- 20 i$ на $1$ .

$- 20 i$

Этап 5

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 6

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 7

Подставим фактические значения $a = - 2$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 8

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведем $0$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 8.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

Этап 8.3

Добавим $0$ и $4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Этап 8.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Этап 8.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 2$

Этап 9

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

Этап 10

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{- 2}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

Этап 11

Подставим значения $θ = 3.14159265$ и $| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$