Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Этап 1

Сократим общий множитель

$6$ и

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель

$3$ из

$6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

Этап 2

Умножим числитель и знаменатель

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ на комплексно сопряженное

$10 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

Этап 3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим.

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Удалим число полных оборотов

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

$0$ и меньше

$2 π$ .

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.3

Точное значение

$\cos (0)$ :

$1$ .

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.5

Удалим число полных оборотов

$2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен

$0$ и меньше

$2 π$ .

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.7

Точное значение

$\sin (0)$ :

$0$ .

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.1.8

Умножим

$i$ на

$0$ .

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.2

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.3

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.5

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.2.6

Умножим

$0$ на

$- 2$ .

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем

$(10 i) (1 + 0 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим

$1$ на

$1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Этап 3.3.2.2

Умножим

$0$ на

$1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

Этап 3.3.2.3

Умножим

$0$ на

$1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

Этап 3.3.2.4

Умножим

$0$ на

$0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

Этап 3.3.2.5

Возведем

$i$ в степень

$1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

Этап 3.3.2.6

Возведем

$i$ в степень

$1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

Этап 3.3.2.7

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

Этап 3.3.2.8

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

Этап 3.3.2.9

Умножим

$0$ на

$i^{2}$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

Этап 3.3.2.10

Добавим

$1$ и

$0$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

Этап 3.3.2.11

Вычтем

$0 i$ из

$0 i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

Этап 3.3.3

Умножим

$0$ на

$i$ .

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

Этап 3.3.4

Добавим

$1$ и

$0$ .

$\frac{- 20 i}{1}$

Этап 4

Разделим

$- 20 i$ на

$1$ .

$- 20 i$

Этап 5

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где

$| z |$ — модуль, а

$θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 6

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где

$z = a + b i$

Этап 7

Подставим фактические значения

$a = - 2$ и

$b = 0$ .

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Этап 8

Найдем

$| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведем

$0$ в степень

$2$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

Этап 8.2

Возведем

$- 2$ в степень

$2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

Этап 8.3

Добавим

$0$ и

$4$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Этап 8.4

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Этап 8.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 2$

Этап 9

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

Этап 10

Поскольку обратный тангенс

$\frac{0}{- 2}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно

$3.14159265$ .

$θ = 3.14159265$

Этап 11

Подставим значения

$θ = 3.14159265$ и

$| z | = 2$ .

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$