Основы мат. анализа Примеры

$(5 + 5 i) (8 (\cos (\frac{3 π}{7}) + i \sin (\frac{3 π}{7})))$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем значение $\cos (\frac{3 π}{7})$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + i \sin (\frac{3 π}{7})))$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\sin (\frac{3 π}{7})$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + i \cdot 0.97492791))$

Этап 1.1.3

Перенесем $0.97492791$ влево от $i$ .

$(5 + 5 i) (8 (0.22252093 + 0.97492791 i))$

Этап 1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(5 + 5 i) (8 \cdot 0.22252093 + 8 (0.97492791 i))$

Этап 1.2.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $8$ на $0.22252093$ .

$(5 + 5 i) (1.78016747 + 8 (0.97492791 i))$

Этап 1.2.2.2

Умножим $0.97492791$ на $8$ .

$(5 + 5 i) (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Этап 2

Развернем $(5 + 5 i) (1.78016747 + 7.79942329 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (1.78016747 + 7.79942329 i) + 5 i (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 1.78016747 + 5 (7.79942329 i) + 5 i (1.78016747 + 7.79942329 i)$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cdot 1.78016747 + 5 (7.79942329 i) + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $5$ на $1.78016747$ .

$8.90083735 + 5 (7.79942329 i) + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Этап 3.1.2

Умножим $7.79942329$ на $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 5 i \cdot 1.78016747 + 5 i (7.79942329 i)$

Этап 3.1.3

Умножим $1.78016747$ на $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 5 i (7.79942329 i)$

Этап 3.1.4

Умножим $5 i (7.79942329 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $7.79942329$ на $5$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i i$

Этап 3.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 (i^{1} i)$

Этап 3.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 (i^{1} i^{1})$

Этап 3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i^{1 + 1}$

Этап 3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 i^{2}$

Этап 3.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i + 38.99711648 \cdot - 1$

Этап 3.1.6

Умножим $38.99711648$ на $- 1$ .

$8.90083735 + 38.99711648 i + 8.90083735 i - 38.99711648$

Этап 3.2

Вычтем $38.99711648$ из $8.90083735$ .

$- 30.09627912 + 38.99711648 i + 8.90083735 i$

Этап 3.3

Добавим $38.99711648 i$ и $8.90083735 i$ .

$- 30.09627912 + 47.89795384 i$

Этап 4

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 5

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 6

Подставим фактические значения $a = - 30.09627912$ и $b = 47.89795384$ .

$| z | = \sqrt{{47.89795384}^{2} + {(- 30.09627912)}^{2}}$

Этап 7

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $47.89795384$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{2294.21398258 + {(- 30.09627912)}^{2}}$

Этап 7.2

Возведем $- 30.09627912$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{2294.21398258 + 905.78601741}$

Этап 7.3

Добавим $2294.21398258$ и $905.78601741$ .

$| z | = \sqrt{3199.\overline{9}}$

Этап 8

Найдем значение корня.

$| z | = 56.56854249$

Этап 9

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{47.89795384}{- 30.09627912})$

Этап 10

Поскольку обратный тангенс $\frac{47.89795384}{- 30.09627912}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $2.13179501$ .

$θ = 2.13179501$

Этап 11

Подставим значения $θ = 2.13179501$ и $| z | = 56.56854249$ .

$56.56854249 (\cos (2.13179501) + i \sin (2.13179501))$