Основы мат. анализа Примеры

$3 - 3 \sqrt{3 i}$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = 3$ и $b = - 3$ .

$| z | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 3^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 3^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 9}$

Этап 4.3

Добавим $9$ и $9$ .

$| z | = \sqrt{18}$

Этап 4.4

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$| z | = \sqrt{9 (2)}$

Этап 4.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 3 \sqrt{2}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 3}{3})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 3}{3}$ дает угол в четвертом квадранте, значение угла равно $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 7

Подставим значения $θ = - \frac{π}{4}$ и $| z | = 3 \sqrt{2}$ .

$3 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$