Основы мат. анализа Примеры

$5 (\cos (25 °) + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем значение $\cos (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \sin (25 °)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\sin (25 °)$ .

$5 (0.90630778 + i \cdot 0.42261826) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1.1.3

Перенесем $0.42261826$ влево от $i$ .

$5 (0.90630778 + 0.42261826 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(5 \cdot 0.90630778 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1.2.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $5$ на $0.90630778$ .

$(4.53153893 + 5 (0.42261826 i)) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1.2.2.2

Умножим $0.42261826$ на $5$ .

$(4.53153893 + 2.1130913 i) \cdot 2 (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(4.53153893 \cdot 2 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1.2.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $4.53153893$ на $2$ .

$(9.06307787 + 2.1130913 i \cdot 2) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $2.1130913$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (\cos (80 °) + i \sin (80 °))$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Найдем значение $\cos (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \sin (80 °))$

Этап 1.3.2

Найдем значение $\sin (80 °)$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + i \cdot 0.98480775)$

Этап 1.3.3

Перенесем $0.98480775$ влево от $i$ .

$(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Этап 2

Развернем $(9.06307787 + 4.22618261 i) (0.17364817 + 0.98480775 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9.06307787 (0.17364817 + 0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i (0.17364817 + 0.98480775 i)$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9.06307787 \cdot 0.17364817 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $9.06307787$ на $0.17364817$ .

$1.57378695 + 9.06307787 (0.98480775 i) + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Этап 3.1.2

Умножим $0.98480775$ на $9.06307787$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 4.22618261 i \cdot 0.17364817 + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Этап 3.1.3

Умножим $0.17364817$ на $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.22618261 i (0.98480775 i)$

Этап 3.1.4

Умножим $4.22618261 i (0.98480775 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $0.98480775$ на $4.22618261$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i i$

Этап 3.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i)$

Этап 3.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 (i^{1} i^{1})$

Этап 3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{1 + 1}$

Этап 3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 i^{2}$

Этап 3.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i + 4.1619774 \cdot - 1$

Этап 3.1.6

Умножим $4.1619774$ на $- 1$ .

$1.57378695 + 8.92538935 i + 0.73386891 i - 4.1619774$

Этап 3.2

Вычтем $4.1619774$ из $1.57378695$ .

$- 2.58819045 + 8.92538935 i + 0.73386891 i$

Этап 3.3

Добавим $8.92538935 i$ и $0.73386891 i$ .

$- 2.58819045 + 9.65925826 i$

Этап 4

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 5

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 6

Подставим фактические значения $a = - 2.58819045$ и $b = 9.65925826$ .

$| z | = \sqrt{{9.65925826}^{2} + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Этап 7

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $9.65925826$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + {(- 2.58819045)}^{2}}$

Этап 7.2

Возведем $- 2.58819045$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{93.30127018 + 6.69872981}$

Этап 7.3

Добавим $93.30127018$ и $6.69872981$ .

$| z | = \sqrt{100}$

Этап 7.4

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2}}$

Этап 7.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 10$

Этап 8

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{9.65925826}{- 2.58819045})$

Этап 9

Обратная функция тангенса $\frac{9.65925826}{- 2.58819045}$ равна $- 1.30899693$ .

$θ = - 1.30899693$

Этап 10

Подставим значения $θ = - 1.30899693$ и $| z | = 10$ .

$10 (\cos (- 1.30899693) + i \sin (- 1.30899693))$