Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x + 4}{2 x - 1} > 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{2 x - 1} + \frac{- 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{x + 4 - 6 x - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{x + 4 - 6 x + 3}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.4.4

Вычтем $6 x$ из $x$ .

$\frac{- 5 x + 4 + 3}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.4.5

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{- 5 x + 7}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) + 7}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.6

Перепишем $7$ в виде $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.8

Перепишем $- (5 x - 7)$ в виде $- 1 (5 x - 7)$ .

$\frac{- 1 (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

Этап 2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 x - 7}{2 x - 1} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$5 x - 7 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 7$

Этап 5

Разделим каждый член $5 x = 7$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $5 x = 7$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{5}$

Этап 6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 7

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{7}{5}$

$x = \frac{1}{2}$

Этап 9

Объединим решения.

$x = \frac{7}{5}, \frac{1}{2}$

Этап 10

Найдем область определения $- \frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x - 1 = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 10.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 4}{2 (0) - 1} > 3$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 4$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{(1) + 4}{2 (1) - 1} > 3$

Этап 12.2.3

Левая часть $5$ больше правой части $3$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{7}{5}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{7}{5}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 4}{2 (4) - 1} > 3$

Этап 12.3.3

Левая часть $1.\overline{142857}$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Истина

$x > \frac{7}{5}$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ Истина

$x > \frac{7}{5}$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{5})$

Этап 15