Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 10.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = - 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.3.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.3.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Этап 10.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Этап 10.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Этап 10.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Этап 10.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + \sqrt{7}$

Этап 10.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.5.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.5.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 10.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Этап 10.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

Этап 10.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - \sqrt{7}$

Этап 10.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup (- 1 - \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}) \cup (- 1 + \sqrt{7}, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1 - \sqrt{7}$

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$

$x > - 1 + \sqrt{7}$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 1 - \sqrt{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1 - \sqrt{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 6} \leq 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 0.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 6} \leq 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $0.\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 6} \leq 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 0.\overline{3}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > - 1 + \sqrt{7}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > - 1 + \sqrt{7}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 6} \leq 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $0.\overline{2}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Истина

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Ложь

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Истина

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Ложь

$x < - 1 - \sqrt{7}$ Истина

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ Ложь

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ Истина

$x > - 1 + \sqrt{7}$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1 - \sqrt{7}$ или $0 \leq x < - 1 + \sqrt{7}$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup [0, - 1 + \sqrt{7})$

Этап 15