Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} > \frac{2}{x - 4}$

Этап 1

Вычтем $\frac{2}{x - 4}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x + 6}{x^{2} - 6 x + 8} - \frac{2}{x - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $- 6$ .

$- 4, - 2$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} > 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{2}{x - 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2}{x - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Этап 2.3

Умножим $\frac{2}{x - 4}$ на $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 6}{(x - 4) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 6 - 2 (x - 2)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 6 - 2 x - 2 \cdot - 2}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.5.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{x + 6 - 2 x + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.5.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x + 6 + 4}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.5.4

Добавим $6$ и $4$ .

$\frac{- x + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.7

Перепишем $10$ в виде $- 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{- (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (x - 10)$ в виде $- 1 (x - 10)$ .

$\frac{- 1 (x - 10)}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 10 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 5

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 10$

$x = 4$

$x = 2$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 10, 4, 2$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 10}{(x - 4) (x - 2)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 9.2.2

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 9.2.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 9.2.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 9.2.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 9.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 4, 2$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 10$

$x > 10$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 6}{{(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 8} > \frac{2}{(0) - 4}$

Этап 11.1.3

Левая часть $0.75$ больше правой части $- 0.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{(3) + 6}{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 8} > \frac{2}{(3) - 4}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 9$ не больше правой части $- 2$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $4 < x < 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$\frac{(7) + 6}{{(7)}^{2} - 6 \cdot 7 + 8} > \frac{2}{(7) - 4}$

Этап 11.3.3

Левая часть $0.8\overline{6}$ больше правой части $0.\overline{6}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 10$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{(12) + 6}{{(12)}^{2} - 6 \cdot 12 + 8} > \frac{2}{(12) - 4}$

Этап 11.4.3

Левая часть $0.225$ не больше правой части $0.25$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$4 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

$x < 2$ Истина

$2 < x < 4$ Ложь

$4 < x < 10$ Истина

$x > 10$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 2$ или $4 < x < 10$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 2) \cup (4, 10)$

Этап 14