Основы мат. анализа Примеры

$(x + 6) (x^{2} - 16) (1 - x) \leq 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 6 = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

$1 - x = 0$

Этап 2

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 3

Приравняем $x^{2} - 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{2} - 16$ к $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{2} - 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 16$

Этап 3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 4

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 4.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 6) (x^{2} - 16) (1 - x) \leq 0$ верно.

$x = - 6, 4, - 4, 1$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$((- 8) + 6) ({(- 8)}^{2} - 16) (1 - (- 8)) \leq 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 864$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $- 6 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$((- 5) + 6) ({(- 5)}^{2} - 16) (1 - (- 5)) \leq 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $54$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $- 4 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 6) ({(0)}^{2} - 16) (1 - (0)) \leq 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $- 96$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.4

Проверим значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 7.4.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$((2) + 6) ({(2)}^{2} - 16) (1 - (2)) \leq 0$

Этап 7.4.3

Левая часть $96$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.5

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 7.5.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$((6) + 6) ({(6)}^{2} - 16) (1 - (6)) \leq 0$

Этап 7.5.3

Левая часть $- 1200$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 1$ Истина

$1 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 6$ Истина

$- 6 < x < - 4$ Ложь

$- 4 < x < 1$ Истина

$1 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 6$ или $- 4 \leq x \leq 1$ или $x \geq 4$

Этап 9

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 6] \cup [- 4, 1] \cup [4, \infty)$

Этап 10