Основы мат. анализа Примеры

$\frac{y + 6}{y - 4} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$y + 6 = 0$

$y - 4 = 0$

Этап 2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$y = - 6$

Этап 3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 4$

Этап 4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$y = - 6$

$y = 4$

Этап 5

Объединим решения.

$y = - 6, 4$

Этап 6

Найдем область определения $\frac{y + 6}{y - 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{y + 6}{y - 4}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y - 4 = 0$

Этап 6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 4$

Этап 6.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$y < - 6$

$- 6 < y < 4$

$y > 4$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $y < - 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $y < - 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = - 8$

Этап 8.1.2

Заменим $y$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 8) + 6}{(- 8) - 4} \geq 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $0.1\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 6 < y < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 6 < y < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $y$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 6}{(0) - 4} \geq 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 1.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $y > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $y > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$y = 6$

Этап 8.3.2

Заменим $y$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(6) + 6}{(6) - 4} \geq 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $6$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$y < - 6$ Истина

$- 6 < y < 4$ Ложь

$y > 4$ Истина

$y < - 6$ Истина

$- 6 < y < 4$ Ложь

$y > 4$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$y \leq - 6$ или $y > 4$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 6] \cup (4, \infty)$

Этап 11