Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- 5}{x - 7} \leq - 5$

Этап 1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$\frac{- 5}{x - 7} + 5 \leq 0$

Этап 2

Упростим $\frac{- 5}{x - 7} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{x - 7} + 5 \leq 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$- \frac{5}{x - 7} + \frac{5 (x - 7)}{x - 7} \leq 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5 + 5 (x - 7)}{x - 7} \leq 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 + 5 (x - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 (x - 7)}{x - 7} \leq 0$

Этап 2.4.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot - 1 + 5 (x - 7)$ .

$\frac{5 (- 1 + x - 7)}{x - 7} \leq 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $7$ из $- 1$ .

$\frac{5 (x - 8)}{x - 7} \leq 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 8 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 4

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 5

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 8$

$x = 7$

Этап 7

Объединим решения.

$x = 8, 7$

Этап 8

Найдем область определения $\frac{5 (x - 8)}{x - 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{5 (x - 8)}{x - 7}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 7 = 0$

Этап 8.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 7$

$7 < x < 8$

$x > 8$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 5}{(0) - 7} \leq - 5$

Этап 10.1.3

Левая часть $0.\overline{714285}$ больше правой части $- 5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $7 < x < 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $7 < x < 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7.5$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $7.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 5}{(7.5) - 7} \leq - 5$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 10$ меньше правой части $- 5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{- 5}{(10) - 7} \leq - 5$

Этап 10.3.3

Левая часть $- 1.\overline{6}$ больше правой части $- 5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 7$ Ложь

$7 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

$x < 7$ Ложь

$7 < x < 8$ Истина

$x > 8$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$7 < x \leq 8$

Этап 12

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(7, 8]$

Этап 13