Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - 9 x + 18 = 0$

$4 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} - 9 x + 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $18$ , а сумма — $- 9$ .

$- 6, - 3$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x - 3) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 6, 3$

Этап 7

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} = 25$

Этап 8

Разделим каждый член $4 x^{2} = 25$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 25$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Этап 9

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Этап 10

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Этап 10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 10.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Этап 10.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 10.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Этап 11

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 11.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 12

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 6, 3$

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 13

Объединим решения.

$x = 6, 3, \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 14

Найдем область определения $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 9 x + 18}{4 x^{2} - 25}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 x^{2} - 25 = 0$

Этап 14.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} = 25$

Этап 14.2.2

Разделим каждый член $4 x^{2} = 25$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = 25$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 14.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4}$

Этап 14.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{4}$

Этап 14.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Этап 14.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Этап 14.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 14.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Этап 14.2.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.4.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 14.2.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5}{2}$

Этап 14.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 14.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 14.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 14.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$

Этап 15

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} < x < 3$

$3 < x < 6$

$x > 6$

Этап 16

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 5$

Этап 16.1.2

Заменим $x$ на $- 5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 5)}^{2} - 9 \cdot - 5 + 18}{4 {(- 5)}^{2} - 25} \leq 0$

Этап 16.1.3

Левая часть $1.17\overline{3}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 16.2

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 16.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - 9 \cdot 0 + 18}{4 {(0)}^{2} - 25} \leq 0$

Этап 16.2.3

Левая часть $- 0.72$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 16.3

Проверим значение на интервале $\frac{5}{2} < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{2} < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.75$

Этап 16.3.2

Заменим $x$ на $2.75$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2.75)}^{2} - 9 \cdot 2.75 + 18}{4 {(2.75)}^{2} - 25} \leq 0$

Этап 16.3.3

Левая часть $0.1547619$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 16.4

Проверим значение на интервале $3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.4.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 16.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} - 9 \cdot 4 + 18}{4 {(4)}^{2} - 25} \leq 0$

Этап 16.4.3

Левая часть $- 0.\overline{051282}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 16.5

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 16.5.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(8)}^{2} - 9 \cdot 8 + 18}{4 {(8)}^{2} - 25} \leq 0$

Этап 16.5.3

Левая часть $0.\overline{043290}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 16.6

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{5}{2}$ Ложь

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Истина

$\frac{5}{2} < x < 3$ Ложь

$3 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < - \frac{5}{2}$ Ложь

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ Истина

$\frac{5}{2} < x < 3$ Ложь

$3 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 17

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}$ или $3 \leq x \leq 6$

Этап 18

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) \cup [3, 6]$

Этап 19