Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} - 49}{x - 9} \leq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - 49 = 0$

$x - 9 = 0$

Этап 2

Добавим $49$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 49$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{49}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2}}$

Этап 4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 7$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 7$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 7$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 7, - 7$

Этап 6

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 7, - 7$

$x = 9$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 7, - 7, 9$

Этап 9

Найдем область определения $\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 9 = 0$

Этап 9.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 10)}^{2} - 49}{(- 10) - 9} \leq 0$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 2.68421052$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} - 49}{(0) - 9} \leq 0$

Этап 11.2.3

Левая часть $5.\overline{4}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $7 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $7 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(8)}^{2} - 49}{(8) - 9} \leq 0$

Этап 11.3.3

Левая часть $- 15$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(12)}^{2} - 49}{(12) - 9} \leq 0$

Этап 11.4.3

Левая часть $31.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < 7$ Ложь

$7 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < 7$ Ложь

$7 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 7$ или $7 \leq x < 9$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 7] \cup [7, 9)$

Этап 14