Основы мат. анализа Примеры

$(2 x + 1) (3 x - 4) > 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Этап 2

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 2.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (3 x - 4) > 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$(2 (- 3) + 1) (3 (- 3) - 4) > 0$

Этап 6.1.3

Левая часть $65$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(2 (0) + 1) (3 (0) - 4) > 0$

Этап 6.2.3

Левая часть $- 4$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(2 (4) + 1) (3 (4) - 4) > 0$

Этап 6.3.3

Левая часть $72$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ Ложь

$x > \frac{4}{3}$ Истина

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ Ложь

$x > \frac{4}{3}$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$ или $x > \frac{4}{3}$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Этап 9