Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} - 25 = 0$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 4

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 6

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 25$

Этап 8

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 9

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 10

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 10.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 11

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = i, - i$

$x = 5$

$x = 5, - 5$

Этап 12

Объединим решения.

$x = 5, 5, - 5$

Этап 13

Найдем область определения $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x^{2} + 1) (x - 5)}{x^{2} - 25}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 25 = 0$

Этап 13.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 25$

Этап 13.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 13.2.3

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 13.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 13.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 13.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 13.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 13.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 14

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Этап 15

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Проверим значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 15.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$\frac{({(- 8)}^{2} + 1) ((- 8) - 5)}{{(- 8)}^{2} - 25} \geq 0$

Этап 15.1.3

Левая часть $- 21.\overline{6}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 15.2

Проверим значение на интервале $- 5 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Выберем значение на интервале $- 5 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 15.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{({(0)}^{2} + 1) ((0) - 5)}{{(0)}^{2} - 25} \geq 0$

Этап 15.2.3

Левая часть $0.2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 15.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{({(8)}^{2} + 1) ((8) - 5)}{{(8)}^{2} - 25} \geq 0$

Этап 15.3.3

Левая часть $5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 15.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Истина

$x < - 5$ Ложь

$- 5 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Истина

Этап 16

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 5 < x < 5$ или $x > 5$

Этап 17

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 5, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 18