Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x} < 4$

Этап 1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{1}{x} x = 4 x$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = 4 x$

Этап 2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 4 x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 x = 1$ .

$4 x = 1$

Этап 3.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 4

Найдем область определения $\frac{1}{x} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{- 2} < 4$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 0.5$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.12$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0.12$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{0.12} < 4$

Этап 6.2.3

Левая часть $8.\overline{3}$ не меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{3} < 4$

Этап 6.3.3

Левая часть $0.\overline{3}$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{4}$ Ложь

$x > \frac{1}{4}$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < \frac{1}{4}$ Ложь

$x > \frac{1}{4}$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $x > \frac{1}{4}$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Этап 9