Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 6$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$f (x) = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$f (x) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 6$

Этап 3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (x) = 8 - 6 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 6$

Этап 3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (x) = 8 - 6 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 6$

Этап 3.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$f (x) = 8 - 24 + 5 \cdot 2 + 6$

Этап 3.5

Вычтем $24$ из $8$ .

$f (x) = - 16 + 5 \cdot 2 + 6$

Этап 3.6

Умножим $5$ на $2$ .

$f (x) = - 16 + 10 + 6$

Этап 3.7

Добавим $- 16$ и $10$ .

$f (x) = - 6 + 6$

Этап 3.8

Добавим $- 6$ и $6$ .

$f (x) = 0$

Этап 4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$f (x) = \frac{x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 6}{x - 2}$

Этап 5

Разделим $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 6$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$f (x) =$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

$f (x) =$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 8 x$ .

$f (x) =$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$f (x) =$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$f (x) =$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

$f (x) =$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x + 6$ .

$f (x) =$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$f (x) =$

Этап 5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$f (x) = x^{2} - 4 x - 3$

Этап 6

Запишем $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 6$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x - 2) (x^{2} - 4 x - 3)$