Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\csc (x)}{\cot (x)} = \sqrt{2}$

Этап 1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\cot (x) = \frac{смежные}{противоположные}$

Этап 2

Найдем гипотенузу треугольника в единичной окружности. Поскольку известны противолежащая и прилежащая стороны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Гипотенуза = \sqrt{{противоположные}^{2} + {смежные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Гипотенуза = \sqrt{{(1)}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Единица в любой степени равна единице.

Гипотенуза $= \sqrt{1 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{1 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Гипотенуза $= \sqrt{1 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{1 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

Гипотенуза $= \sqrt{1 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

Гипотенуза $= \sqrt{1 + 2}$

Этап 4.2.5

Найдем экспоненту.

Гипотенуза $= \sqrt{1 + 2}$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{3}$

Этап 5

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3

Упростим значение $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Этап 6.3

Упростим значение $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 6.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.3.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.3.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 6.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 6.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Этап 6.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Этап 6.3.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Этап 7

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 7.3

Упростим значение $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 8

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3

Упростим значение $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 8.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.2.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 8.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 8.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Этап 8.3.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 9

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\csc (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Этап 9.3

Разделим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{3}$

Этап 10

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cot (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\csc (x) = \sqrt{3}$