Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$ к $0$ .

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 4 x^{3} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3} - 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 20 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 4 x$ из $- 4 x (x^{2}) - 4 x (5)$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 75 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 4 x (x^{2} + 5) + u^{2} - 10 u - 75 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} - 10 u - 75$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 75$ , а сумма — $- 10$ .

$- 15, 5$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 4 x (x^{2} + 5) + (u - 15) (u + 5) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $- 4 x (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $(x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 5$ из $(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15)$ .

$(x^{2} + 5) (- 4 x + x^{2} - 15) = 0$

Этап 2.1.8

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 5$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 2.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 2.3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{5}$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 4 x - 15$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 4 x - 15$ к $0$ .

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 4 x - 15 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - 15$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 15$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Добавим $16$ и $60$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{19}$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$ верно.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

Этап 3