Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$ к $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 8 x$ из $- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 42 x^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 42 u + 41 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} + 42 u + 41$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $41$ , а сумма — $42$ .

$1, 41$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 41) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 8 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 41) = 0$

Этап 2.1.8

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 8 x + 41$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 8 x + 41$ к $0$ .

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 8 x + 41 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = 41$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.3

Вычтем $164$ из $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.4

Перепишем $- 100$ в виде $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (100)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.7

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.1.9

Перенесем $10$ влево от $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Этап 2.4.2.3.3

Упростим $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 4 + 5 i, 4 - 5 i$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$ верно.

$x = i, - i, 4 + 5 i, 4 - 5 i$

Этап 3