Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 42 x$

Этап 1

Приравняем $x^{5} + x^{3} - 42 x$ к $0$ .

$x^{5} + x^{3} - 42 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} + x^{3} - 42 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 42 x = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 42 x = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 42 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 42 = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ .

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42 = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42$ .

$x (x^{4} + x^{2} - 42) = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 42) = 0$

Этап 2.1.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (u^{2} + u - 42) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим $u^{2} + u - 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 42$ , а сумма — $1$ .

$- 6, 7$

Этап 2.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((u - 6) (u + 7)) = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 6) (x^{2} + 7)) = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

$x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} - 6$ к $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} - 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 6$

Этап 2.4.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{6}$

Этап 2.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{6}$

Этап 2.4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{6}$

Этап 2.4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 7$ к $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 7$

Этап 2.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Этап 2.5.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Этап 2.5.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Этап 2.5.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{7}$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{7}$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{7}$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}, i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Этап 3