Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{3} \csc (x) + 2$

Этап 1

Приравняем $\sqrt{3} \csc (x) + 2$ к $0$ .

$\sqrt{3} \csc (x) + 2 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3} \csc (x) = - 2$

Этап 2.2

Разделим каждый член $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ на $\sqrt{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $\sqrt{3} \csc (x) = - 2$ на $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3} \csc (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\csc (x)$ на $1$ .

$\csc (x) = \frac{- 2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 2.2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.2.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.2.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.2.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.3

Применим обратный косеканс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака косеканса.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 2.5

Функция косеканса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Этап 2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Этап 2.6.2

Результирующий угол $\frac{4 π}{3}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{3} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 2.7

Найдем период $\csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Этап 2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Этап 2.8.4.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Этап 2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 2.9

Период функции $\csc (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3