Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\sqrt{x + 1} \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot e^{\frac{3}{2}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (\sqrt{x + 1} \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot e^{\frac{3}{2}})$ в виде $\ln (\sqrt{x + 1} \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}) + \ln (e^{\frac{3}{2}})$ .

$\ln (\sqrt{x + 1} \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}) + \ln (e^{\frac{3}{2}})$

Этап 2

Перепишем $\ln (\sqrt{x + 1} \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})$ в виде $\ln (\sqrt{x + 1}) + \ln ({(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})$ .

$\ln (\sqrt{x + 1}) + \ln ({(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}) + \ln (e^{\frac{3}{2}})$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}) + \ln (e^{\frac{3}{2}})$

Этап 4

Развернем $\ln ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) + \ln ({(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}) + \ln (e^{\frac{3}{2}})$

Этап 5

Развернем $\ln ({(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})$ , вынося $\frac{3}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) + \frac{3}{2} \ln (y^{2} + 1) + \ln (e^{\frac{3}{2}})$

Этап 6

Развернем $\ln (e^{\frac{3}{2}})$ , вынося $\frac{3}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) + \frac{3}{2} \ln (y^{2} + 1) + \frac{3}{2} \ln (e)$

Этап 7

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) + \frac{3}{2} \ln (y^{2} + 1) + \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 8

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (x + 1) + \frac{3}{2} \ln (y^{2} + 1) + \frac{3}{2}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{2} + \frac{3}{2} \ln (y^{2} + 1) + \frac{3}{2}$

Этап 9.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\ln (y^{2} + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{2} + \frac{3 \ln (y^{2} + 1)}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x + 1) + 3 \ln (y^{2} + 1)}{2} + \frac{3}{2}$