Основы мат. анализа Примеры

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$ , $\tan (θ) < 0$

Этап 1

Тангенс принимает отрицательные значения во втором и четвертом квадрантах. Косинус принимает положительные значения в первом и четвертом квадрантах. Множество решений для $θ$ ограничивается четвертым квадрантом, так как это единственный квадрант, найденный в обоих множествах.

Решение находится в четвертом квадранте.

Этап 2

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\cos (θ) = \frac{смежные}{гипотенуза}$

Этап 3

Найдем противолежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку прилежащая сторона и гипотенуза известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Противоположные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {смежные}^{2}}$

Этап 4

Заменим известные значения в уравнении.

$Противоположные = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 5

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим знак $\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$ на противоположный.

Противоположный $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Этап 5.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

Противоположный $= - \sqrt{9 - 4}$

Этап 5.5

Вычтем $4$ из $9$ .

Противоположный $= - \sqrt{5}$

Этап 6

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{3}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

Этап 7

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 8

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{2}{- \sqrt{5}}$

Этап 8.3

Упростим значение $\cot (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cot (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 8.3.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 8.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 8.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 8.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 9

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

Этап 10

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{3}{- \sqrt{5}}$

Этап 10.3

Упростим значение $\csc (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (θ) = - \frac{3}{\sqrt{5}}$

Этап 10.3.2

Умножим $\frac{3}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 10.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Умножим $\frac{3}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 10.3.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 10.3.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 10.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 10.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 10.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Этап 10.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$