Основы мат. анализа Примеры

$\sin (θ) = \frac{5}{7}$

Этап 1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\sin (θ) = \frac{противоположные}{гипотенуза}$

Этап 2

Найдем прилежащую сторону треугольника в единичной окружности. Поскольку гипотенуза и противолежащая сторона известны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Смежные = - \sqrt{{гипотенуза}^{2} - {противоположные}^{2}}$

Этап 3

Заменим известные значения в уравнении.

$Смежные = - \sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Этап 4

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим знак $\sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}$ на противоположный.

Смежный $= - \sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

Смежный $= - \sqrt{49 - {(5)}^{2}}$

Этап 4.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

Смежный $= - \sqrt{49 - 1 \cdot 25}$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $25$ .

Смежный $= - \sqrt{49 - 25}$

Этап 4.5

Вычтем $25$ из $49$ .

Смежный $= - \sqrt{24}$

Этап 4.6

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

Смежный $= - \sqrt{4 (6)}$

Этап 4.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

Смежный $= - \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Этап 4.7

Вынесем члены из-под знака корня.

Смежный $= - (2 \sqrt{6})$

Этап 4.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

Смежный $= - 2 \sqrt{6}$

Этап 5

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 5.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{7}$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

Этап 6

Найдем значение тангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти значение $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\tan (θ) = \frac{5}{- 2 \sqrt{6}}$

Этап 6.3

Упростим значение $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (θ) = - \frac{5}{(2) \sqrt{6}}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Этап 6.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 6.3.3.2

Перенесем $\sqrt{6}$ .

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 6.3.3.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 6.3.3.4

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 6.3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 6.3.3.7

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Этап 6.3.3.7.5

Найдем экспоненту.

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Этап 6.3.4

Умножим $2$ на $6$ .

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Этап 7

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Этап 8

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{7}{- 2 \sqrt{6}}$

Этап 8.3

Упростим значение $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sec (θ) = - \frac{7}{(2) \sqrt{6}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{7}{2 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{7}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Этап 8.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Умножим $\frac{7}{2 \sqrt{6}}$ на $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Этап 8.3.3.2

Перенесем $\sqrt{6}$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 8.3.3.3

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 8.3.3.4

Возведем $\sqrt{6}$ в степень $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Этап 8.3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Этап 8.3.3.7

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Этап 8.3.3.7.5

Найдем экспоненту.

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Этап 8.3.4

Умножим $2$ на $6$ .

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{12}$

Этап 9

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{7}{5}$

Этап 10

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = \frac{5}{7}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

$\tan (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\sec (θ) = - \frac{7 \sqrt{6}}{12}$

$\csc (θ) = \frac{7}{5}$