Основы мат. анализа Примеры

$z = 5 - 5 i$

Этап 1

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 2

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 3

Подставим фактические значения $a = 5$ и $b = - 5$ .

$| z | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 5^{2}}$

Этап 4

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + 5^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25}$

Этап 4.3

Добавим $25$ и $25$ .

$| z | = \sqrt{50}$

Этап 4.4

Перепишем $50$ в виде $5^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $25$ из $50$ .

$| z | = \sqrt{25 (2)}$

Этап 4.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Этап 4.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 5 \sqrt{2}$

Этап 5

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 5}{5})$

Этап 6

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 5}{5}$ дает угол в четвертом квадранте, значение угла равно $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Этап 7

Подставим значения $θ = - \frac{π}{4}$ и $| z | = 5 \sqrt{2}$ .

$5 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$

Этап 8

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$z = 5 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$