Основы мат. анализа Примеры

$z^{4} = 81 i$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $z^{4}$ .

$u^{4} = 81 i$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = 81$ .

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 81$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

Этап 7

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет положительное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 8

Подставим значения $θ = \frac{π}{2}$ и $| z | = 81$ .

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 9

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 10

Используем формулу Муавра, чтобы найти уравнение для $u$ .

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 11

Приравняем модуль тригонометрической формы к $r^{4}$ , чтобы найти значение $r$ .

$r^{4} = 81$

Этап 12

Решим уравнение относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

Этап 12.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перепишем $81$ в виде $3^{4}$ .

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

Этап 12.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \pm 3$

Этап 12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = 3$

Этап 12.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - 3$

Этап 12.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = 3, - 3$

Этап 13

Найдем приблизительное значение $r$ .

$r = 3$

Этап 14

Найдем возможные значения $θ$ .

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ и $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Этап 15

Нахождение всех возможных значений $θ$ приводит к уравнению $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Этап 16

Найдем значение $θ$ для $r = 0$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Этап 17

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Этап 17.1.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

Этап 17.1.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$4 θ = \frac{π}{2}$

Этап 17.2

Разделим каждый член $4 θ = \frac{π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Разделим каждый член $4 θ = \frac{π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 17.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 17.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Этап 17.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 17.2.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 17.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$θ = \frac{π}{8}$

Этап 18

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{4} = 81 i$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1.1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.4

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1.5.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1.5.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.1.5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

Этап 19.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.1

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

Этап 19.1.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Этап 19.1.2.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения в первом квадранте.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Этап 19.1.2.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 19.1.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 19.1.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 19.1.2.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Этап 19.1.2.4.5

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.4.5.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Этап 19.1.2.4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

Этап 19.1.2.4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Этап 19.1.2.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.2.4.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Этап 19.1.2.4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Этап 19.1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 19.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 19.2.2

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Этап 20

Подставим $z^{4}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Этап 21

Найдем значение $θ$ для $r = 1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Этап 22

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 22.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 22.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Этап 22.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Этап 22.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Этап 22.1.6

Добавим $π$ и $4 π$ .

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

Этап 22.2

Разделим каждый член $4 θ = \frac{5 π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Разделим каждый член $4 θ = \frac{5 π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Этап 22.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Этап 22.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

Этап 22.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 22.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

Этап 22.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$θ = \frac{5 π}{8}$

Этап 23

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{4} = 81 i$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1

Точное значение $\cos (\frac{5 π}{8})$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1.1

Представим $\frac{5 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

Этап 24.1.2

Точное значение $\sin (\frac{5 π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.1

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Этап 24.1.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Этап 24.1.2.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения во втором квадранте.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Этап 24.1.2.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.4.1

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Этап 24.1.2.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 24.1.2.4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

Этап 24.1.2.4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 24.1.2.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 24.1.2.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Этап 24.1.2.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Этап 24.1.2.4.7

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.4.7.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Этап 24.1.2.4.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Этап 24.1.2.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Этап 24.1.2.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1.2.4.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Этап 24.1.2.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Этап 24.1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Этап 24.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Этап 24.2.2

Объединим $3$ и $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Этап 24.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Этап 24.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Этап 24.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Этап 24.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.6.1

Перепишем $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ в виде $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ .

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

Этап 24.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Этап 25

Подставим $z^{4}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Этап 26

Найдем значение $θ$ для $r = 2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Этап 27

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Этап 27.1.2

Чтобы записать $4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 27.1.3

Объединим $4 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Этап 27.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Этап 27.1.5

Умножим $2$ на $4$ .

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Этап 27.1.6

Добавим $π$ и $8 π$ .

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

Этап 27.2

Разделим каждый член $4 θ = \frac{9 π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Разделим каждый член $4 θ = \frac{9 π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Этап 27.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Этап 27.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

Этап 27.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 27.2.3.2

Умножим $\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.3.2.1

Умножим $\frac{9 π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

Этап 27.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$θ = \frac{9 π}{8}$

Этап 28

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{4} = 81 i$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1

Точное значение $\cos (\frac{9 π}{8})$ : $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1.1

Представим $\frac{9 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.3

Заменим $\pm$ на $-$ , так как косинус принимает отрицательные значения в третьем квадранте.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1.4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.6

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1.4.6.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

Этап 29.1.2

Точное значение $\sin (\frac{9 π}{8})$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.2.1

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

Этап 29.1.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Этап 29.1.2.3

Заменим $\pm$ на $-$ , так как синус принимает отрицательные значения в третьем квадранте.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

Этап 29.1.2.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.2.4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Этап 29.1.2.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.2.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Этап 29.1.2.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

Этап 29.1.2.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Этап 29.1.2.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1.2.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Этап 29.1.2.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

Этап 29.1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 29.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Этап 29.2.2

Объединим $3$ и $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Этап 29.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Этап 29.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Этап 29.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Этап 29.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.6.1

Перепишем $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ в виде $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ .

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

Этап 29.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Этап 30

Подставим $z^{4}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

Этап 31

Найдем значение $θ$ для $r = 3$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

Этап 32

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1.1

Умножим $3$ на $2$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

Этап 32.1.2

Чтобы записать $6 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 32.1.3

Объединим $6 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

Этап 32.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

Этап 32.1.5

Умножим $2$ на $6$ .

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

Этап 32.1.6

Добавим $π$ и $12 π$ .

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

Этап 32.2

Разделим каждый член $4 θ = \frac{13 π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.1

Разделим каждый член $4 θ = \frac{13 π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Этап 32.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Этап 32.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

Этап 32.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 32.2.3.2

Умножим $\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.3.2.1

Умножим $\frac{13 π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

Этап 32.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$θ = \frac{13 π}{8}$

Этап 33

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{4} = 81 i$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1

Точное значение $\cos (\frac{13 π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1.1

Представим $\frac{13 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , так как косинус принимает положительные значения в четвертом квадранте.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1.4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.2

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.7

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1.4.7.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.1.4.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.1.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

Этап 34.1.2

Точное значение $\sin (\frac{13 π}{8})$ : $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.1

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

Этап 34.1.2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Этап 34.1.2.3

Заменим $\pm$ на $-$ , так как синус принимает отрицательные значения в четвертом квадранте.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

Этап 34.1.2.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.4.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.2

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.4.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

Этап 34.1.2.4.8

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.4.8.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

Этап 34.1.2.4.8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

Этап 34.1.2.4.9

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

Этап 34.1.2.4.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1.2.4.10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

Этап 34.1.2.4.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

Этап 34.1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Этап 34.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Этап 34.2.2

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Этап 35

Подставим $z^{4}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

Этап 36

Это комплексные решения $u^{4} = 81 i$ .

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$