Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(5 x - 15)}{(x - 5) (x + 1)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{5 (x) - 15}{(x - 5) (x + 1)}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 15$ .

$\frac{5 x + 5 \cdot - 3}{(x - 5) (x + 1)}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $5$ из $5 x + 5 \cdot - 3$ .

$\frac{5 (x - 3)}{(x - 5) (x + 1)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 5}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 5) (x + 1)$ .

$\frac{5 (x - 3) (x - 5) (x + 1)}{(x - 5) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x - 3) (x - 5) (x + 1)}{(x - 5) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 (x - 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (x - 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.6.2

Разделим $5 (x - 3)$ на $1$ .

$5 (x - 3) = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 5 \cdot - 3 = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.8

Умножим $5$ на $- 3$ .

$5 x - 15 = \frac{(A) (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x - 15 = \frac{A (x - 5) (x + 1)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.9.1.2

Разделим $(A) (x + 1)$ на $1$ .

$5 x - 15 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 15 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.9.3

Умножим $A$ на $1$ .

$5 x - 15 = A x + A + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.9.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$5 x - 15 = A x + A + \frac{(B) (x - 5) (x + 1)}{x + 1}$

Этап 1.9.4.2

Разделим $(B) (x - 5)$ на $1$ .

$5 x - 15 = A x + A + (B) (x - 5)$

Этап 1.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x - 15 = A x + A + B x + B \cdot - 5$

Этап 1.9.6

Перенесем $- 5$ влево от $B$ .

$5 x - 15 = A x + A + B x - 5 B$

Этап 1.10

Перенесем $A$ .

$5 x - 15 = A x + B x + A - 5 B$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 15 = A - 5 B$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = A + B$

$- 15 = A - 5 B$

$5 = A + B$

$- 15 = A - 5 B$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $5 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 5$ .

$A + B = 5$

$- 15 = A - 5 B$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 5 - B$

$- 15 = A - 5 B$

$A = 5 - B$

$- 15 = A - 5 B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $5 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 15 = A - 5 B$ на $5 - B$ .

$- 15 = (5 - B) - 5 B$

$A = 5 - B$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $5 B$ из $- B$ .

$- 15 = 5 - 6 B$

$A = 5 - B$

$- 15 = 5 - 6 B$

$A = 5 - B$

$- 15 = 5 - 6 B$

$A = 5 - B$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 15 = 5 - 6 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $5 - 6 B = - 15$ .

$5 - 6 B = - 15$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 6 B = - 15 - 5$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $5$ из $- 15$ .

$- 6 B = - 20$

$A = 5 - B$

$- 6 B = - 20$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $- 6 B = - 20$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $- 6 B = - 20$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 20}{- 6}$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Сократим общий множитель $- 20$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 20$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 10}{- 6}$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 6$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 10}{- 2 \cdot 3}$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{- 2 \cdot 10}{- 2 \cdot 3}$

$A = 5 - B$

Этап 3.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{10}{3}$

$A = 5 - B$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{10}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 5 - B$ на $\frac{10}{3}$ .

$A = 5 - (\frac{10}{3})$

$B = \frac{10}{3}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $5 - (\frac{10}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Этап 3.4.2.1.2

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Этап 3.4.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{5 \cdot 3 - 10}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Этап 3.4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.4.1

Умножим $5$ на $3$ .

$A = \frac{15 - 10}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Этап 3.4.2.1.4.2

Вычтем $10$ из $15$ .

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

$A = \frac{5}{3}$

$B = \frac{10}{3}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{5}{3}, B = \frac{10}{3}$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{5}{3}}{x - 5} + \frac{\frac{10}{3}}{x + 1}$