Основы мат. анализа Примеры

$x + y = 36$ , $x^{2} + y^{2} = 72$

Этап 1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x = 36 - y$

$x^{2} + y^{2} = 72$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $36 - y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x^{2} + y^{2} = 72$ на $36 - y$ .

${(36 - y)}^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(36 - y)}^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем ${(36 - y)}^{2}$ в виде $(36 - y) (36 - y)$ .

$(36 - y) (36 - y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.2

Развернем $(36 - y) (36 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 (36 - y) - y (36 - y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 \cdot 36 + 36 (- y) - y (36 - y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 \cdot 36 + 36 (- y) - y \cdot 36 - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$36 \cdot 36 + 36 (- y) - y \cdot 36 - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.1

Умножим $36$ на $36$ .

$1296 + 36 (- y) - y \cdot 36 - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $36$ .

$1296 - 36 y - y \cdot 36 - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.3

Умножим $36$ на $- 1$ .

$1296 - 36 y - 36 y - y (- y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1296 - 36 y - 36 y + 1 y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.3.1.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$1296 - 36 y - 36 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 36 y - 36 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.1.3.2

Вычтем $36 y$ из $- 36 y$ .

$1296 - 72 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + y^{2} + y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 2.2.1.2

Добавим $y^{2}$ и $y^{2}$ .

$1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

$1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$

$x = 36 - y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $1296 - 72 y + 2 y^{2} = 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $72$ из обеих частей уравнения.

$1296 - 72 y + 2 y^{2} - 72 = 0$

$x = 36 - y$

Этап 3.2

Вычтем $72$ из $1296$ .

$- 72 y + 2 y^{2} + 1224 = 0$

$x = 36 - y$

Этап 3.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 72 y + 2 y^{2} + 1224$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 72 y$ .

$2 (- 36 y) + 2 y^{2} + 1224 = 0$

$x = 36 - y$

Этап 3.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2}$ .

$2 (- 36 y) + 2 (y^{2}) + 1224 = 0$

$x = 36 - y$

Этап 3.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $1224$ .

$2 (- 36 y) + 2 y^{2} + 2 \cdot 612 = 0$

$x = 36 - y$

Этап 3.3.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 36 y) + 2 y^{2}$ .

$2 (- 36 y + y^{2}) + 2 \cdot 612 = 0$

$x = 36 - y$

Этап 3.3.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 36 y + y^{2}) + 2 \cdot 612$ .

$2 (- 36 y + y^{2} + 612) = 0$

$x = 36 - y$

$2 (- 36 y + y^{2} + 612) = 0$

$x = 36 - y$

Этап 3.3.2

Изменим порядок членов.

$2 (y^{2} - 36 y + 612) = 0$

$x = 36 - y$

$2 (y^{2} - 36 y + 612) = 0$

$x = 36 - y$

Этап 3.4

Разделим каждый член $2 (y^{2} - 36 y + 612) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $2 (y^{2} - 36 y + 612) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 (y^{2} - 36 y + 612)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (y^{2} - 36 y + 612)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $y^{2} - 36 y + 612$ на $1$ .

$y^{2} - 36 y + 612 = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

$y^{2} - 36 y + 612 = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

$y^{2} - 36 y + 612 = \frac{0}{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$y^{2} - 36 y + 612 = 0$

$x = 36 - y$

$y^{2} - 36 y + 612 = 0$

$x = 36 - y$

$y^{2} - 36 y + 612 = 0$

$x = 36 - y$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 36 - y$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 36$ и $c = 612$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 612)}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 612$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $612$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.3

Вычтем $2448$ из $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $- 1152$ в виде $- 1 (1152)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (1152)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.7

Перепишем $1152$ в виде $24^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.7.1

Вынесем множитель $576$ из $1152$ .

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{576 (2)}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.7.2

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{36 \pm i \cdot (24 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.1.9

Перенесем $24$ влево от $i$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 18 \pm 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

$y = 18 \pm 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 612$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $612$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.3

Вычтем $2448$ из $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.4

Перепишем $- 1152$ в виде $- 1 (1152)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (1152)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.7

Перепишем $1152$ в виде $24^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.7.1

Вынесем множитель $576$ из $1152$ .

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{576 (2)}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.7.2

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{36 \pm i \cdot (24 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.1.9

Перенесем $24$ влево от $i$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.3

Упростим $\frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 18 \pm 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.8.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 1 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 612$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 612}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.2.2

Умножим $- 4$ на $612$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 2448}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.3

Вычтем $2448$ из $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.4

Перепишем $- 1152$ в виде $- 1 (1152)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (1152)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{1152}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.7

Перепишем $1152$ в виде $24^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.7.1

Вынесем множитель $576$ из $1152$ .

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{576 (2)}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.7.2

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm i \cdot \sqrt{24^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{36 \pm i \cdot (24 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.1.9

Перенесем $24$ влево от $i$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.3

Упростим $\frac{36 \pm 24 i \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 18 \pm 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.9.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Этап 3.10

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}, 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}, 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $18 + 12 i \sqrt{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 36 - y$ на $18 + 12 i \sqrt{2}$ .

$x = 36 - (18 + 12 i \sqrt{2})$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $36 - (18 + 12 i \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 36 - 1 \cdot 18 - (12 i \sqrt{2})$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $18$ .

$x = 36 - 18 - (12 i \sqrt{2})$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Этап 4.2.1.1.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$x = 36 - 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $18$ из $36$ .

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $18 - 12 i \sqrt{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 36 - y$ на $18 - 12 i \sqrt{2}$ .

$x = 36 - (18 - 12 i \sqrt{2})$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $36 - (18 - 12 i \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 36 - 1 \cdot 18 - (- 12 i \sqrt{2})$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $18$ .

$x = 36 - 18 - (- 12 i \sqrt{2})$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Этап 5.2.1.1.3

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$x = 36 - 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 36 - 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $18$ из $36$ .

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Этап 6

Перечислим все решения.

$x = 18 - 12 i \sqrt{2}, y = 18 + 12 i \sqrt{2}$

$x = 18 + 12 i \sqrt{2}, y = 18 - 12 i \sqrt{2}$

Этап 7