Основы мат. анализа Примеры

$2 y^{2} + x y = 5$ , $4 y + x = 7$

Этап 1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$x = 7 - 4 y$

$2 y^{2} + x y = 5$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $7 - 4 y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $2 y^{2} + x y = 5$ на $7 - 4 y$ .

$2 y^{2} + (7 - 4 y) \cdot y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $2 y^{2} + (7 - 4 y) \cdot y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y^{2} + 7 y - 4 y \cdot y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Перенесем $y$ .

$2 y^{2} + 7 y - 4 (y \cdot y) = 5$

$x = 7 - 4 y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y^{2} + 7 y - 4 y^{2} = 5$

$x = 7 - 4 y$

$2 y^{2} + 7 y - 4 y^{2} = 5$

$x = 7 - 4 y$

$2 y^{2} + 7 y - 4 y^{2} = 5$

$x = 7 - 4 y$

Этап 2.2.1.2

Вычтем $4 y^{2}$ из $2 y^{2}$ .

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

$- 2 y^{2} + 7 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $- 2 y^{2} + 7 y = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 y^{2} + 7 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{2} + 7 y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y^{2}$ .

$- (2 y^{2}) + 7 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $7 y$ .

$- (2 y^{2}) - (- 7 y) - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.1.3

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$- (2 y^{2}) - (- 7 y) - 1 \cdot 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{2}) - (- 7 y)$ .

$- (2 y^{2} - 7 y) - 1 \cdot 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y^{2} - 7 y) - 1 (5)$ .

$- (2 y^{2} - 7 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (2 y^{2} - 7 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 y$ .

$- (2 y^{2} - 7 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.2.1.1.2

Запишем $- 7$ как $- 2$ плюс $- 5$

$- (2 y^{2} + (- 2 - 5) y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 y^{2} - 2 y - 5 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (2 y^{2} - 2 y - 5 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((2 y^{2} - 2 y) - 5 y + 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (2 y (y - 1) - 5 (y - 1)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (2 y (y - 1) - 5 (y - 1)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y - 1$ .

$- ((y - 1) (2 y - 5)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- ((y - 1) (2 y - 5)) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (y - 1) (2 y - 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (y - 1) (2 y - 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

$- (y - 1) (2 y - 5) = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 1 = 0$

$2 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.4

Приравняем $y - 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $y - 1$ к $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 1$

$x = 7 - 4 y$

$y = 1$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.5

Приравняем $2 y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $2 y - 5$ к $0$ .

$2 y - 5 = 0$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.5.2

Решим $2 y - 5 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 y = 5$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $2 y = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 y = 5$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (y - 1) (2 y - 5) = 0$ верно.

$y = 1, \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

$y = 1, \frac{5}{2}$

$x = 7 - 4 y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 7 - 4 y$ на $1$ .

$x = 7 - 4 \cdot 1$

$y = 1$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $7 - 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = 7 - 4$

$y = 1$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $4$ из $7$ .

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

$x = 3$

$y = 1$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{5}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 7 - 4 y$ на $\frac{5}{2}$ .

$x = 7 - 4 (\frac{5}{2})$

$y = \frac{5}{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $7 - 4 (\frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$x = 7 + 2 (- 2) (\frac{5}{2})$

$y = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = 7 + 2 \cdot (- 2 (\frac{5}{2}))$

$y = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 7 - 2 \cdot 5$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 2 \cdot 5$

$y = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $5$ .

$x = 7 - 10$

$y = \frac{5}{2}$

$x = 7 - 10$

$y = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $10$ из $7$ .

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{5}{2}$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, 1)$

$(- 3, \frac{5}{2})$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(3, 1), (- 3, \frac{5}{2})$

Форма уравнения:

$x = 3, y = 1$

$x = - 3, y = \frac{5}{2}$

Этап 8