Основы мат. анализа Примеры

$\sin (4 x + π)$

Этап 1

Приравняем $\sin (4 x + π)$ к $0$ .

$\sin (4 x + π) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x + π = \arcsin (0)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$4 x + π = 0$

Этап 2.3

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - π$

Этап 2.4

Разделим каждый член $4 x = - π$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $4 x = - π$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- π}{4}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- π}{4}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- π}{4}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x + π = π - 0$

Этап 2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$4 x + π = π$

Этап 2.6.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$4 x = π - π$

Этап 2.6.2.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$4 x = 0$

Этап 2.6.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 2.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 2.7

Найдем период $\sin (4 x + π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 2.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 2.8

Добавим $\frac{π}{2}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Этап 2.8.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Этап 2.8.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Этап 2.8.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Этап 2.8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Этап 2.8.5.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 2.8.6

Перечислим новые углы.

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.9

Период функции $\sin (4 x + π)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{4}$ , для любого целого $n$

Этап 3