Основы мат. анализа Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}]$

Этап 1

Умножим $[\begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна $2 \times 2$ , а вторая — $2 \times 1$ .

Этап 1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y \\ 1 x + 4 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}]$

Этап 1.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 3 x - 2 y \\ x + 4 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}]$

Этап 2

Запишем в виде линейной системы уравнений.

$3 x - 2 y = 2$

$x + 4 y = 4$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$x = 4 - 4 y$

$3 x - 2 y = 2$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $x$ на $4 - 4 y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $3 x - 2 y = 2$ на $4 - 4 y$ .

$3 (4 - 4 y) - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (4 - 4 y) - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 4 + 3 (- 4 y) - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$12 + 3 (- 4 y) - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- 4$ на $3$ .

$12 - 12 y - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

$12 - 12 y - 2 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $2 y$ из $- 12 y$ .

$12 - 14 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

$12 - 14 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

$12 - 14 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

$12 - 14 y = 2$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ в $12 - 14 y = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- 14 y = 2 - 12$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.3.1.2

Вычтем $12$ из $2$ .

$- 14 y = - 10$

$x = 4 - 4 y$

$- 14 y = - 10$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $- 14 y = - 10$ на $- 14$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $- 14 y = - 10$ на $- 14$ .

$\frac{- 14 y}{- 14} = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 14 y}{- 14} = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{- 10}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $- 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 10$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 5}{- 14}$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 14$ .

$y = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 7}$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 7}$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - 4 y$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{5}{7}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 4 - 4 y$ на $\frac{5}{7}$ .

$x = 4 - 4 (\frac{5}{7})$

$y = \frac{5}{7}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $4 - 4 (\frac{5}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Умножим $- 4 (\frac{5}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1.1

Объединим $- 4$ и $\frac{5}{7}$ .

$x = 4 + \frac{- 4 \cdot 5}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Этап 3.4.2.1.1.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = 4 + \frac{- 20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 + \frac{- 20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Этап 3.4.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = 4 - \frac{20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = 4 - \frac{20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Этап 3.4.2.1.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$x = 4 \cdot \frac{7}{7} - \frac{20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Этап 3.4.2.1.3

Объединим $4$ и $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{4 \cdot 7}{7} - \frac{20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Этап 3.4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{4 \cdot 7 - 20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Этап 3.4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.5.1

Умножим $4$ на $7$ .

$x = \frac{28 - 20}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Этап 3.4.2.1.5.2

Вычтем $20$ из $28$ .

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

$x = \frac{8}{7}$

$y = \frac{5}{7}$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$x = \frac{8}{7}, y = \frac{5}{7}$