Основы мат. анализа Примеры

$4 y^{2} + 4 y - 16 x + 13 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 y - 16 x + 13 = - 4 y^{2}$

Этап 1.1.1.2

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$- 16 x + 13 = - 4 y^{2} - 4 y$

Этап 1.1.1.3

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$ на $- 16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- 16 x = - 4 y^{2} - 4 y - 13$ на $- 16$ .

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 y^{2}}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 4 (y^{2})}{- 16} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16$ .

$x = \frac{- 4 (y^{2})}{- 4 (4)} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 4 y^{2}}{- 4 \cdot 4} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (y)}{- 16} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 (y)}{- 4 (4)} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 y}{- 4 \cdot 4} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{- 13}{- 16}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{13}{16}$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{4} + \frac{13}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{4}$

$c = \frac{13}{16}$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель $\frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{\frac{1}{4}}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель ${(\frac{1}{4})}^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $\frac{1}{4}$ из ${(\frac{1}{4})}^{2}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $\frac{1}{4}$ из $4 (\frac{1}{4})$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = \frac{13}{16} - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = \frac{13}{16} - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 1.2.4.2.1.3

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = \frac{13}{16} - \frac{1}{16}$

Этап 1.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{13 - 1}{16}$

Этап 1.2.4.2.3

Вычтем $1$ из $13$ .

$e = \frac{12}{16}$

Этап 1.2.4.2.4

Сократим общий множитель $12$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$e = \frac{4 (3)}{16}$

Этап 1.2.4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$e = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$e = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$e = \frac{3}{4}$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{4} {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = \frac{3}{4}$

$k = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{2})$

Этап 4