Основы мат. анализа Примеры

$\frac{π}{8}$

Этап 1

Точное значение $\cos (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку косинус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 1.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 1.5

Упростим $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 1.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.5.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Этап 1.5.5

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 1.5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 1.5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Этап 2

Точное значение $\sin (\frac{π}{8})$ : $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Этап 2.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 2.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения в первом квадранте.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Этап 2.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Этап 2.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 2.4.5

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Этап 2.4.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Этап 2.4.6

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.4.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.4.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Этап 3

Зададим координаты $(\cos (θ), \sin (θ))$ .

$(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$