Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (\frac{\sqrt{x + 2}}{y^{3} {(z - 1)}^{4}})$

Этап 1

Перепишем $\log_{5} (\frac{\sqrt{x + 2}}{y^{3} {(z - 1)}^{4}})$ в виде $\log_{5} (\sqrt{x + 2}) - \log_{5} (y^{3} {(z - 1)}^{4})$ .

$\log_{5} (\sqrt{x + 2}) - \log_{5} (y^{3} {(z - 1)}^{4})$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (y^{3} {(z - 1)}^{4})$

Этап 3

Развернем $\log_{5} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log_{5} (x + 2) - \log_{5} (y^{3} {(z - 1)}^{4})$

Этап 4

Перепишем $\log_{5} (y^{3} {(z - 1)}^{4})$ в виде $\log_{5} (y^{3}) + \log_{5} ({(z - 1)}^{4})$ .

$\frac{1}{2} \log_{5} (x + 2) - (\log_{5} (y^{3}) + \log_{5} ({(z - 1)}^{4}))$

Этап 5

Развернем $\log_{5} (y^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log_{5} (x + 2) - (3 \log_{5} (y) + \log_{5} ({(z - 1)}^{4}))$

Этап 6

Развернем $\log_{5} ({(z - 1)}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \log_{5} (x + 2) - (3 \log_{5} (y) + 4 \log_{5} (z - 1))$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{5} (x + 2)$ .

$\frac{\log_{5} (x + 2)}{2} - (3 \log_{5} (y) + 4 \log_{5} (z - 1))$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\log_{5} (x + 2)}{2} - (3 \log_{5} (y)) - (4 \log_{5} (z - 1))$

Этап 7.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{\log_{5} (x + 2)}{2} - 3 \log_{5} (y) - (4 \log_{5} (z - 1))$

Этап 7.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\log_{5} (x + 2)}{2} - 3 \log_{5} (y) - 4 \log_{5} (z - 1)$

Этап 8

Чтобы записать $- 3 \log_{5} (y)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x + 2)}{2} - 3 \log_{5} (y) \cdot \frac{2}{2} - 4 \log_{5} (z - 1)$

Этап 9

Объединим $- 3 \log_{5} (y)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x + 2)}{2} + \frac{- 3 \log_{5} (y) \cdot 2}{2} - 4 \log_{5} (z - 1)$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log_{5} (x + 2) - 3 \log_{5} (y) \cdot 2}{2} - 4 \log_{5} (z - 1)$

Этап 11

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{\log_{5} (x + 2) - 6 \log_{5} (y)}{2} - 4 \log_{5} (z - 1)$

Этап 12

Чтобы записать $- 4 \log_{5} (z - 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x + 2) - 6 \log_{5} (y)}{2} - 4 \log_{5} (z - 1) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 13

Объединим $- 4 \log_{5} (z - 1)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x + 2) - 6 \log_{5} (y)}{2} + \frac{- 4 \log_{5} (z - 1) \cdot 2}{2}$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log_{5} (x + 2) - 6 \log_{5} (y) - 4 \log_{5} (z - 1) \cdot 2}{2}$

Этап 15

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{\log_{5} (x + 2) - 6 \log_{5} (y) - 8 \log_{5} (z - 1)}{2}$