Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 e^{2 x - 1} - 7^{x + 1}$

Этап 1

Приравняем $3 e^{2 x - 1} - 7^{x + 1}$ к $0$ .

$3 e^{2 x - 1} - 7^{x + 1} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $- 7^{x + 1}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$3 e^{2 x - 1} = 7^{x + 1}$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3 e^{2 x - 1}) = \ln (7^{x + 1})$

Этап 2.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $\ln (3 e^{2 x - 1})$ в виде $\ln (3) + \ln (e^{2 x - 1})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{2 x - 1}) = \ln (7^{x + 1})$

Этап 2.3.2

Развернем $\ln (e^{2 x - 1})$ , вынося $2 x - 1$ из логарифма.

$\ln (3) + (2 x - 1) \ln (e) = \ln (7^{x + 1})$

Этап 2.3.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (3) + (2 x - 1) \cdot 1 = \ln (7^{x + 1})$

Этап 2.3.4

Умножим $2 x - 1$ на $1$ .

$\ln (3) + 2 x - 1 = \ln (7^{x + 1})$

Этап 2.4

Развернем $\ln (7^{x + 1})$ , вынося $x + 1$ из логарифма.

$\ln (3) + 2 x - 1 = (x + 1) \ln (7)$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим $(x + 1) \ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (3) + 2 x - 1 = x \ln (7) + 1 \ln (7)$

Этап 2.5.1.2

Умножим $\ln (7)$ на $1$ .

$\ln (3) + 2 x - 1 = x \ln (7) + \ln (7)$

Этап 2.6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (3) - x \ln (7) - \ln (7) = - 2 x + 1$

Этап 2.7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (7) + \ln (\frac{3}{7}) = - 2 x + 1$

Этап 2.8

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$- x \ln (7) + \ln (\frac{3}{7}) + 2 x = 1$

Этап 2.9

Вычтем $\ln (\frac{3}{7})$ из обеих частей уравнения.

$- x \ln (7) + 2 x = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

Этап 2.10

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (7) + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (7)$ .

$x (- 1 \ln (7)) + 2 x = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

Этап 2.10.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x (- 1 \ln (7)) + x \cdot 2 = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

Этап 2.10.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 1 \ln (7)) + x \cdot 2$ .

$x (- 1 \ln (7) + 2) = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

Этап 2.11

Перепишем $- 1 \ln (7)$ в виде $- \ln (7)$ .

$x (- \ln (7) + 2) = 1 - \ln (\frac{3}{7})$

Этап 2.12

Разделим каждый член $x (- \ln (7) + 2) = 1 - \ln (\frac{3}{7})$ на $- \ln (7) + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Разделим каждый член $x (- \ln (7) + 2) = 1 - \ln (\frac{3}{7})$ на $- \ln (7) + 2$ .

$\frac{x (- \ln (7) + 2)}{- \ln (7) + 2} = \frac{1}{- \ln (7) + 2} + \frac{- \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

Этап 2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Сократим общий множитель $- \ln (7) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- \ln (7) + 2)}{- \ln (7) + 2} = \frac{1}{- \ln (7) + 2} + \frac{- \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

Этап 2.12.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- \ln (7) + 2} + \frac{- \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

Этап 2.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{1}{- \ln (7) + 2} - \frac{\ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

Этап 2.12.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

Этап 2.12.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (7)$ .

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) + 2}$

Этап 2.12.3.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- \ln (7) - 1 (- 2)}$

Этап 2.12.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (7) - 1 (- 2)$ .

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- (\ln (7) - 2)}$

Этап 2.12.3.6

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.6.1

Перепишем $- (\ln (7) - 2)$ в виде $- 1 (\ln (7) - 2)$ .

$x = \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{- 1 (\ln (7) - 2)}$

Этап 2.12.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - \ln (\frac{3}{7})}{\ln (7) - 2}$

Этап 3