Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

Этап 1.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $i$ .

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения $a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ и $b = \frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Этап 5

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Этап 5.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим правило умножения к $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 5.4.3

Применим правило умножения к $5 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 5.5.2

Умножим $\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.6.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 5.6.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 5.6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.1

Сократим общий множитель.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 5.6.2.4.2

Перепишем это выражение.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Этап 5.6.2.5

Найдем экспоненту.

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

Этап 5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

Этап 5.7.2

Умножим $25$ на $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

Этап 5.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

Этап 5.7.4

Добавим $25$ и $75$ .

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

Этап 5.7.5

Разделим $100$ на $4$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Этап 5.7.6

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Этап 5.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 5$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

Этап 7

Поскольку обратный тангенс $\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Этап 8

Подставим значения $θ = \frac{5 π}{6}$ и $| z | = 5$ .

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$