Основы мат. анализа Примеры

${(4 + 4 i)}^{5}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $4$ в степень $5$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.2

Умножим $4^{4}$ на $4$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем $4$ .

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $4$ на $4^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.3

Возведем $4$ в степень $5$ .

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.4

Умножим $5$ на $1024$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.5

Возведем $4$ в степень $3$ .

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.6

Умножим $10$ на $64$ .

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $4 i$ .

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.9

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.10

Умножим $640 (16 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $16$ на $- 1$ .

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.10.2

Умножим $640$ на $- 16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.11

Возведем $4$ в степень $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.12

Умножим $10$ на $16$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.13

Применим правило умножения к $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.14

Возведем $4$ в степень $3$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.15

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.16

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.17

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.18

Умножим $- 1$ на $64$ .

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 64$ на $160$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.20

Умножим $5$ на $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.21

Применим правило умножения к $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.22

Возведем $4$ в степень $4$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.23

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.23.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.23.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.23.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.24

Умножим $20 (256 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1

Умножим $256$ на $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.24.2

Умножим $20$ на $256$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

Этап 2.1.25

Применим правило умножения к $4 i$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

Этап 2.1.26

Возведем $4$ в степень $5$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

Этап 2.1.27

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

Этап 2.1.28

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.28.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

Этап 2.1.28.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

Этап 2.1.28.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

Этап 2.1.29

Умножим $i$ на $1$ .

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $10240$ из $1024$ .

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

Этап 2.2.2

Добавим $- 9216$ и $5120$ .

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

Этап 2.2.3

Вычтем $10240 i$ из $5120 i$ .

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

Этап 2.2.4

Добавим $- 5120 i$ и $1024 i$ .

$- 4096 - 4096 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 4096$ и $b = - 4096$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $- 4096$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 4096$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

Этап 6.3

Добавим $16777216$ и $16777216$ .

$| z | = \sqrt{33554432}$

Этап 6.4

Перепишем $33554432$ в виде $4096^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $16777216$ из $33554432$ .

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

Этап 6.4.2

Перепишем $16777216$ в виде $4096^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 4096}{- 4096}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 9

Подставим значения $θ = \frac{5 π}{4}$ и $| z | = 4096 \sqrt{2}$ .

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$